Функсияи \(y = -\frac{1}{4}(x^{3}-3x^{2}+4)\) таҳқиқ карда шавад.
Ҳал.
1. Соҳаи муайянӣ
Он қиматҳое, ки \(x\) қабул карда метавонад. \(D(y) = (-\infty; +\infty)\). Яъне \(x \in R\)
2. Соҳаи қиматҳо
\(E(y) = (-\infty; +\infty)\)
3. Оё функсия маҳдуд аст, ё не?
Функсияи зерин маҳдуд нест.
4. Қиматҳои калонтарин ва хурдатирини функсия
Барои ёфтани қиматҳои хурдтарин ва калонтарин, мо бояд ҳосилаи функсияро ёбем:
$$y'=(-\frac{1}{4}(x^{3}-3x^{2}+4))'=-\frac{1}{4}((x^{3}-3x^{2}+4))'=-\frac{1}{4}\cdot((x^3)'-(3x^2)'+(4)')=$$
$$=-\frac{1}{4}\cdot(3x^2-3(x^2)'+0)=-\frac{1}{4}\cdot(3x^2-3\cdot2x)=-\frac{3}{4}x(x-2)$$
Яъне, \(y'=-\frac{3}{4}x(x-2)\). Барои ёфтани калонтарин ва хурдтарин қиматҳои функсия, мо бояд экстремумҳои ин функсияро ёбем. Барои ёфтани экстремумҳо, мо нуқтаҳои буриши ҳосилаи функсия ва хатти \(Ox\)-ро меёбем.
$$y'=0 \Rightarrow -\frac{3}{4}x(x-2)=0 \Rightarrow x_1=0, x_2=2$$.
Акнун \(y_1\) ва \(y_2\)-ро меёбем.$$y_1=-\frac{1}{4}(x_1^{3}-3x_1^{2}+4)=-\frac{1}{4}(0^{3}-3\cdot0^{2}+4)=-\frac{1}{4}\cdot(4)=-1$$
$$y_2=-\frac{1}{4}(x_2^{3}-3x_2^{2}+4)=-\frac{1}{4}(2^{3}-3\cdot2^{2}+4)=-\frac{1}{4}\cdot(8-3\cdot4+4)=0$$
Азбаски \(y_1=-1\) ва \(y_2=0\), пас барои \(x_1\) функсия соҳиби қимати хурдтарин ва барои \(x_2\) функсия соҳиби қимати калонтарин мешавад.
5. Даври функсия
Функсияи \(y = -\frac{1}{4}(x^{3}-3x^{2}+4)\) даврӣ нест.
6. Функсияи зерин ҷуфт ё тоқ?
Барои муайян кардани ҷуфт ё тоқ будани функсия, мо бояд \(f(-x)\)-ро ёбем.
$$f(-x)=-\frac{1}{4}((-x)^{3}-3(-x)^{2}+4)=-\frac{1}{4}(-x^{3}-3x^{2}+4)$$
Азбаски \(f(-x) \neq f(x)\) ва \(f(-x) \neq -f(x)\), пас функсия на ҷуфту на тоқ.
7. Фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавии функсия
Ҳангоми \(x \in (-\infty; 0)\) функсия камшаванда, ҳангоми \(x \in (0; 2)\) функсия афзуншаванда ва ҳангоми \(x \in (2; \infty)\) функсия камшаванда мебошад. Барои ёфтани фосилаҳои афзуншавӣ ва камшавӣ мо аз 4 истифода бурдем.
8. Буриш бо \(Ox\) ва \(Oy\)
Буриш бо \(Oy\)-ро меёбем. Барои ин мо бояд \(f(0)\)-ро ҳисоб кунем. $$f(0)=-\frac{1}{4}(0^{3}-3\cdot0^{2}+4)=-\frac{1}{4}\cdot(4)=-1$$
Яъне, дар нуқтаи \((0; -1)\) функсия хатти \(Oy\)-ро мебурад.
Барои ёфтани буриш бо \(Ox\), мо бояд муодилаи $$-\frac{1}{4}(x^{3}-3x^{2}+4)=0-ро$$ ҳал кунем.
$$-\frac{1}{4}(x^{3}-3x^{2}+4)=-\frac{1}{4}(x^{3}+x^{2}-4x^{2}+4)=-\frac{1}{4}(x^{2}\cdot(x+1)-4\cdot(x^{2}-1))=$$
$$=-\frac{1}{4}(x^{2}\cdot(x+1)-4\cdot(x-1)\cdot(x+1))=-\frac{1}{4}\cdot(x+1)\cdot(x^{2}-4\cdot(x-1))=-\frac{1}{4}\cdot(x+1)\cdot(x^{2}-4x+4)=$$
$$=-\frac{1}{4}\cdot(x+1)\cdot(x-2)^2 \Rightarrow x_1=-1, x_2=2$$
Яъне, дар нуқтаҳои \((-1; 0)\) ва \((2; 0)\) функсия хатти \(Ox\)-ро мебурад.
9. Графики функсия